Mathematik, die die reale Welt beschreibt: Präkalkül und Trigonometrie

Präkalkül ist eine wichtige Vorbereitung auf die Infinitesimalrechnung, aber auch eine nützliche Sammlung von Fähigkeiten, die auf Algebra, Trigonometrie und anderen Themen basieren. Als Einführung sollten Sie sich die wesentlichen Konzepte der Funktion ansehen, sich an einfachen Problemen versuchen und sich die Empfehlungen von Professor Edwards für die Herangehensweise an die Reihe anhören.

Die häufigste algebraische Funktion ist eine Polynomfunktion. Untersuchen Sie als Beispiele lineare und quadratische Funktionen und probieren Sie verschiedene Techniken aus, um Wurzeln oder "Nullstellen" zu finden. Ein wertvolles Hilfsmittel bei dieser Suche ist der Zwischenwertsatz, der reelle Wurzeln für Polynomfunktionen identifiziert.

Tauchen Sie ein in die seltsame und faszinierende Welt der komplexen Zahlen, auch bekannt als imaginäre Zahlen, wobei i als Quadratwurzel aus -1 definiert ist. Lernen Sie, wie man mit Hilfe komplexer Zahlen Wurzeln von Polynomen berechnet und findet und wie bestimmte komplexe Ausdrücke schöne fraktale Muster ergeben, wenn man sie grafisch darstellt.

Untersuchung rationaler Funktionen, die Quotienten von Polynomen sind. Zunächst müssen Sie den Definitionsbereich der Funktion ermitteln. Anschließend lernen Sie, wie Sie die vertikalen und horizontalen Asymptoten erkennen können, indem Sie die Werte des Zählers und des Nenners grafisch darstellen und vergleichen. Abschließend werden einige Anwendungen rationaler Funktionen vorgestellt.

Entdecken Sie, wie Funktionen auf verschiedene Weise kombiniert werden können, einschließlich Addition, Multiplikation und Komposition. Ein Sonderfall der Komposition ist die inverse Funktion, die wichtige Anwendungen hat. Eine Möglichkeit, inverse Funktionen zu erkennen, ist in einem Diagramm, in dem die Funktion und ihre inverse Form Spiegelbilder über der Linie y = x sind.

Sie haben bereits Ungleichungen verwendet, um die Werte in der Domäne einer Funktion auszudrücken. Jetzt lernen Sie die Notation für Ungleichungen kennen, wie man Ungleichungen in Diagrammen darstellt und Techniken zum Lösen von Ungleichungen, einschließlich solcher, die den Absolutwert betreffen und häufig in der Infinitesimalrechnung vorkommen.

Erkunden Sie Exponentialfunktionen, die eine Basis größer als 1 und eine Variable als Exponent haben. Untersuchen Sie die Eigenschaften von Exponenten, die Graphen von Exponentialfunktionen und die einzigartigen Eigenschaften der natürlichen Basis e. Dann wählen Sie ein typisches Problem im Zusammenhang mit Zinseszins.

Eine logarithmische Funktion ist die Umkehrung der Exponentialfunktion und weist alle zuvor behandelten Merkmale von Umkehrfunktionen auf. Untersuchen Sie gewöhnliche Logarithmen (zur Basis 10) und natürliche Logarithmen (zur Basis e) und untersuchen Sie Anwendungen wie die "70er-Regel" im Bankwesen.

Lernen Sie, wie man Logarithmen in verschiedene Basen umwandelt, und erkunden Sie die drei wichtigsten Eigenschaften von Logarithmen, die für die Vereinfachung von Ausdrücken in der Infinitesimalrechnung entscheidend sind. Abschließend werden praktische Anwendungen wie das pH-System in der Chemie und die Richterskala in der Geologie behandelt.

Üben Sie das Lösen einer Reihe von Gleichungen mit Logarithmen und Exponenten, und sehen Sie, wie Logarithmen verwendet werden, um Exponenten für eine einfachere Berechnung „auf den Boden der Tatsachen“ zu bringen. Versuchen Sie sich dann an einem Problem, das die Körpergrößen von Männern und Frauen modelliert, und analysieren Sie, wie die Modelle zusammengesetzt sind.

Schließen Sie den Algebra-Teil der Reihe ab, indem Sie sich eingehender mit Exponential- und Logarithmusgleichungen befassen und diese zur Modellierung realer Phänomene verwenden, z. B. Bevölkerungswachstum, radioaktiver Zerfall, SAT-Mathe-Ergebnisse, die Ausbreitung eines Virus und die Abkühlgeschwindigkeit einer Tasse Kaffee.

Trigonometrie ist ein Schlüsselthema der angewandten Mathematik und der Infinitesimalrechnung und findet in vielen Bereichen Anwendung. Beginnen Sie Ihre Untersuchung mit den beiden Techniken zur Messung von Winkeln: Grad und Bogenmaß. Das Radiant-System wird in der Regel in der Infinitesimalrechnung verwendet und erleichtert Berechnungen mit Winkeln.

Der Satz des Pythagoras, der sich mit dem Verhältnis der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks befasst, ist der Ausgangspunkt für die sechs trigonometrischen Funktionen. Entdecken Sie die enge Verbindung zwischen Sinus, Kosinus, Tangens, Kosekans, Sekans und Kotangens, und konzentrieren Sie sich auf einige einfache Formeln, die es sich lohnt, auswendig zu lernen.

Trigonometrische Funktionen müssen sich nicht auf spitze Winkel in rechtwinkligen Dreiecken beschränken; sie gelten für praktisch jeden Winkel. Mit Hilfe der Koordinatenebene lernen Sie, trigonometrische Werte für beliebige Winkel zu berechnen. Sie sehen auch, dass eine Tabelle mit den üblichen Winkeln und ihren trigonometrischen Werten eine breite Anwendung findet.

Die Graphen von Sinus- und Kosinusfunktionen bilden ein ausgeprägtes wellenförmiges Muster. Experimentieren Sie mit Funktionen, die zusätzliche Terme enthalten, und sehen Sie, wie diese die Periode, Amplitude und Phase der Wellen verändern. Ein solches Verhalten kommt überall in der Natur vor und führte 1967 zur Entdeckung von schnell rotierenden Sternen, den Pulsaren.

Setzen Sie Ihr Studium der Graphen trigonometrischer Funktionen fort, indem Sie sich die Kurven von Tangens, Kosekans, Sekans und Kotangens ansehen. Anschließend können Sie mehrere Vorkenntnisse aus der Kalkulation zusammenführen, indem Sie einen abklingenden Exponentialterm in einer Sinusfunktion verwenden, um eine gedämpfte harmonische Bewegung zu modellieren.

Bei einer bestimmten trigonometrischen Funktion kann nur ein kleiner Teil ihres Graphen als Umkehrfunktion betrachtet werden. Diese umgekehrten trigonometrischen Funktionen sind jedoch sehr wichtig in der Kalkulation. Testen Sie Ihre Fähigkeit, sie zu erkennen und mit ihnen zu arbeiten, und versuchen Sie es mit einem Problem, das einen Raketenstart beinhaltet.

Eine Identität ist eine Gleichung, die für alle Variablenwerte gilt. Trigonometrische Identitäten, die durch Vereinfachung einer Gleichungsseite bewiesen werden, um zu einer wahren Aussage zu gelangen, sind für das Lösen komplexer trigonometrischer Gleichungen unerlässlich.

Das Schwierige an der Infinitesimalrechnung sind oft nicht die Schritte, in denen die Infinitesimalrechnung zum Einsatz kommt, sondern die Gleichung, die am Ende übrig bleibt und für deren Lösung man Präkalkül benötigt. Trainieren Sie Ihre Fähigkeiten für diese Aufgabe, indem Sie alle Werte der Variablen identifizieren, die eine gegebene trigonometrische Gleichung erfüllen.

Lernen Sie die wichtigen Formeln für die Summe und Differenz von Sinus, Kosinus und Tangens. Anschließend verwenden Sie diese Hilfsmittel, um einen Einblick in die Infinitesimalrechnung zu erhalten, indem Sie die Steigung einer Tangente am Kosinusdiagramm bestimmen. Dabei lernen Sie auch die Ableitung der Kosinusfunktion kennen.

Kehren Sie zum Thema der Dreiecke zurück und untersuchen Sie den Sinussatz, mit dem die Seiten und Winkel eines beliebigen Dreiecks bestimmt werden können, wenn zwei Winkel und eine Seite oder zwei Seiten und ein gegenüberliegender Winkel gegeben sind. Außerdem lernen Sie eine auf dem Sinussatz basierende Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks kennen.

Können Sie aus drei Seiten eines Dreiecks die drei Winkel bestimmen? Verwenden Sie eine verallgemeinerte Form des Satzes von Pythagoras, den Kosinussatz, um erfolgreich zu sein. Mit dieser Formel lassen sich auch alle Seiten und Winkel eines Dreiecks bestimmen, wenn man zwei beliebige Seiten und den dazugehörigen Winkel kennt.

Vektoren symbolisieren Größen, die sowohl einen Betrag als auch eine Richtung haben, wie z. B. Kraft, Geschwindigkeit und Beschleunigung. Sie werden durch einen gerichteten Linienabschnitt in einem Diagramm dargestellt. Experimentieren Sie mit der Suche nach äquivalenten Vektoren, der Addition von Vektoren und der Multiplikation von Vektoren mit Skalaren.

Wenden Sie Ihre trigonometrischen Fähigkeiten auf den abstrakten Bereich der komplexen Zahlen an und sehen Sie, wie man komplexe Zahlen in einer trigonometrischen Form darstellt, die eine einfache Multiplikation und Division ermöglicht. Untersuchen Sie auch den Satz von De Moivre, eine Abkürzung für die Erhöhung komplexer Zahlen in eine beliebige Potenz.

Beginnen Sie mit der ersten von vier Episoden über lineare Gleichungssysteme und Matrizen. Beginnen Sie mit der Substitutionsmethode, um ein einfaches System aus zwei Gleichungen und zwei Unbekannten zu lösen. Dann üben Sie die Technik der Gauß'schen Eliminierung und bekommen einen Eindruck von der Matrixdarstellung eines linearen Systems.